Halmazok, intervallumok

A halmaz és a halmaz eleme alapfogalom, ezeket nem definiáljuk. A halmaz szót a sokaság, összesség, család, osztály stb. köznyelvi szavak szinonímájaként használjuk. Az elem szót pedig a tag, pont, objektum stb. szavak helyett.

Jelölések:

  • a halmazokat az abc nagybetűível,
  • a halmazok elemeit pedig kisbetűvel jelöljük.

pl.: A 2; 5; 11; x; k elemekből álló halmazt így jelöljük:

A=\{2; 5; 11; x; k\}

Az A halmaz elemei a 2; 5; 11; x; k. Ezt a tényt így jelöljük:

2\in A; \hspace{1cm} 5\in A; \hspace{1cm} 11 \in A \ldots

Rövidebben: \hspace{2cm} 2;5;11;x;k \in A

Ennek az A halmaznak pl. a 0 nem eleme. Ezt röviden így jelöljük: 0 \notin A

Halmazok megadásánál ügyelni kell, hogy egyértelműen eldönthető legyen mi eleme a halmaznak és mi nem.

Halmazok megadása:

  • elemeinek felsorolásával

  • egyértelmű utasítással

  • szimbólumokkal

  • Venn-diagrammal

     .

B=\{-8; 0; 7; 66;\}

C=\{\text{egyjegyű páratlan számok}\}

D=\{x : 5<x<18; \hspace{3mm}\text{és x egész szám}\}

Def.: Két halmaz egyenlő, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák.
Jelölés: =

Pl.: \hspace{3mm} F=\{\text{egyjegyű pozitív páros számok}\}; \hspace{1cm} G=\{k\mid 2\cdot k; \hspace{3mm} k=0; 1; 2; 3; 4\} \hspace{1.5cm}\rightarrow\hspace{1.5cm} F=G

\hspace{7mm} A_1=\{2;4;7;8\}; \hspace{4.5cm} A_2=\{4;2;8;7\} \hspace{3.5cm}\rightarrow\hspace{1.5cm} A_1=A_2

Def.: Az elem nélküli halmazt üres halmaznak nevezzük.
Jelölés: \emptyset

Def.: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme.

Pl.: \{\text{4-gyel osztható számok}\}\subseteq\{\text{2-vel osztható számok}\}

Def.: Bármely A halmaz összes részhalmazának halmazát A hatványhalmazának nevezzük.
Jelölés: \mathcal{P}(A)

\mathcal{P}(A):=\{X\mid X\subseteq A\}

Pl.: \hspace{3mm} B=\{a; 2; 4\} \hspace{2cm} \mathcal{P}(B)=\left\{\emptyset; \{a\}; \{2\}; \{4\}; \{a;2\}; \{2;4\}; \{a;4\}; \{a;2;4\} \right\}

Tulajdonságok:

  • Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza: \emptyset\subseteq A
  • Minden halmaz önnmaga részhalmaza: A\subseteq A
  • Ha A\subseteq A \text{ és } B\subseteq A \hspace{3mm}\Rightarrow \hspace{3mm} A=B

Észrevehetjük, hogy az előbbi példában |B|=3 (az A halmaz elemszáma \sim “ahány db eleme van a halmaznak”), illetve |\mathcal{P}(B)|=8=2^3.

Tétel: Egy n elemű halmaz összes részhalmazainak száma: 2^n.

|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}

Teljes indukcióval

Az üres halmaznak egyetlen részhalmaza van: önmaga.
2^0=1

Egy egyelemű halmaznak két részhalmaza van: az üres halmaz és önnmaga.
2^1=2

Egy kételemű halmaznak 4 részhalmaza van: az üres halmaz, kettő db egyelemű halmaz, és önnmaga.
2^2=4

Tegyük fel, hogy egy k elemű halmaznak 2^k db részhalmaza van. Bizonyítani kell, hogy ez örökődik, vagyis egy (k+1) elemű halmaznak 2^{k+1} db részjalmaza van:

Tekintsük az előbbi k elemű halmazt. Ekkor ha az eddigi elemekhez hozzáveszünk egy új elemet a (k+1)-et.