Pitagorasz-tétel és alkalmazása - 2.

1.Mintafeladat

Számítsuk ki az ábrán levő kis kör sugarát, ha tudjuk, hogy a nagy félkör sugara R=6cm!

O_3O_1=O_3E=3 \text{ cm}

Tudjuk, hogy az érintőkörök középpontjai, valamint az érintési pont egy egyenesre esnek.

FO_1 := x.

O_3T=6-r

Felírjuk a Pitagorasz-tételét az O_2FO_{1\triangle}-re: \hspace{2.5cm} Felírjuk a Pitagorasz-tételét az O_2TO_{3\triangle}-re:

r^2+x^2=(6-r)^2 \hspace{3cm}x^2+(3-r)^2=(r+3)^2

Két összefüggést kaptunk x-re és r-re. Mind a kettő egyenletből kifejezzük az x^2-et:

x^2=(6-r)^2 -r^2\hspace{3cm}x^2=(r+3)^2-(3-r)^2

Mivel mind a két egyenlet az x^2-t fejezi ki, ezért ez a két egyenlet egymással ekvivalens, vagyis:

(6-r)^2 -r^2=(r+3)^2-(3-r)^2

Megoldjuk ezt az egyenletet r-re.

36-12r+r^2-r^2=r^2+6r+9-(9-6r+r^2)

36-12r=r^2+6r+9-9+6r-r^2

36-12r=12r

36=24r

r=1.5 \text{ cm}