Pitagorasz-tétel és alkalmazása - 1.

Vegyünk egy (a+b) oldalú négyzetet: ABCD_\square.
(lásd 1. ábra)

Ennek a területe: T_{\square}=(a+b)

Ezt a négyzetet az ábrán látható módon felosztottuk, és így keletkezett egy:

  • a oldalú négyzet, melynek területe t_1=a^2
  • b oldalú négyzet, melynek területe t_2=b^2
  • 4 db egybevágó derékszögű háromszög, melynek befogói a; b

A nagy ((a+b) oldalú) négyzeten máshogy elhelyezve a 4 db derékszögű háromszöget, egy újjabb négyzetet kapunk, melynek oldalai c és területe pedig t_3=c^2
(lásd 2. ábra)

Mivel mind a két esetben ugyan azt a nagy ((a+b) oldalú) négyzetet fedtük le, és a 4 db derékszögű háromszög mind a két esetben egybevágó, ezért az első esetben a két négyzet területének az összege megegyezik a c oldalú négyzet területével. Vagyis:

\red{t_1}+\blue{t_2}=\purple{t_3}

a^2+b^2=c^2

Pitagorasz-tétele:

Egy derégszögű háromszögben a befogúk négyzetének összege megegyezik az átfogó négyzetével.


Egy másik megfogalmazásban:

Egy derékszögű háromszögben a bofogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével.


Szokásos jelölésekkel, ahol a;b aháromszög befogói c pedig a háromszög átfogója:

a^2+b^2+c^2

Pitagorasz-tétel megfordítása:

Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik ildal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Pitagoraszi számhármasok:

Olyan derékszögű háromszögeknek az oldalai, melyek egész hosszúságúak.

Egy másik megfogalmazásban:

(a;b;c)\hspace{0.5cm}  pitagoraszi számhármas, ha megoldásai az \hspace{0.5cm} a^2+b^2=c^2\hspace{0.5cm} diofantoszi egyenletnek,
ahol \hspace{0.5cm} a<b<c\hspace{0.5cm} és \hspace{0.5cm} a;b;c\in\mathbb{Z^+}

Ilyenek például:

(3;4;5)

(8;15;17)

(6;8;10)

(12;16;20)

(5;12;13)

(7;24;25)

(9;12;15)

(15;20;25)

1.Mintafeladat

Számítsuk ki az ábrán látható deltoid kerületét, ha tudjuk, hogy a kisebbik átló a nagyobbikat 1:2 arányban osztja két részre. Az átlók hossza: e=6\text{ cm}; f=12\text{ cm}

Tudjuk, hogy a deltoid átlói merőlegesek egymásra, illetve hogy a nagyobbik átlója felezi a kisebbet.

A nagyobbik átló 1:2 arányban: 1\cdot\dfrac{12}{3}=4\text{ cm};   illetve   2\cdot\dfrac{12}{3}=8\text{ cm}

A 2. ábra szerint szétbontjuk a deltoidod két-két egybevágó derékszögű háromszögre.

Ezeknek két oldalát ismerjük, így Pitagorasz-tételének segítségével kiszámíthatjuk az ismeretlen oldalakat (a deltoid a; b oldalait).

Pitagorasz-tétel az
ABE_\triangle-re                     és az                     EDC_\triangle-re

\left(\dfrac{e}{2}\right)^2+\left(\dfrac{f}{3}\right)^2=a^2 \hspace{3cm}\left(\dfrac{e}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2f}{3}\right)^2=b^2

3^2+4^2=a^2 \hspace{3cm} 3^2+8^2=b^2

9+16=a^2 \hspace{3cm} 9+64=b^2

25=a^2 \hspace{3cm} 73=b^2

\sqrt{25}=\sqrt{a^2} \hspace{3cm} \sqrt{73}=\sqrt{b^2}

5=|a| \hspace{3cm} 8.54\approx|b|

Mivel a;b>0, ezért:

a=5 \hspace{3cm} b\approx 8.54

A deltoid kerülete: K=2a+2b=2\cdot 5 + 2\cdot 8.54=27.08 \text{ cm}.

2.Mintafeladat

Három darab 1 méter átmérőjű csövet egymásra helyeztek. Milyen magasan van a felső cső teteje?

Kössük össze a körök középpontjait. (lásd 2. ábra)

Tudjuk, hogy az érintőkörök középpontjai és az érintési pont egy egyenesen van rajta.

Az így keletkezett O_1O_2O_{3\triangle} egy szabályos háromszög, melynek oldalai 2r nagyságúak, vagyis 1 méteresek.
(lásd 2. ábra)

Berajzolva a háromszög magasságát (lásd 3. ábra), két egybevágó derékszögű háromszöget kapunk. Írjuk fel Pitagorasz-tételét az O_1E_3O_{3\triangle}-re:

O_1E_3^2+E_3O_3^2=O_1O_3^2

r^2+m^2=(2r)^2

0.5^2+m^2=1^2

0.25+m^2=1

m^2=0.75

\sqrt{m^2}=\sqrt{0.75}

|m|\approx 0.87

Mivel m>0, ezért:

m\approx 0.87

A felső cső teteje (a földtől számítva) r+m+r magasan van, vagyis 0.5+0.87+0.5=1.87 \text{ m}.

3.Mintafeladat

Mekkora az A(1;2) és a B(5;4) pontok távoldásga a derékszögű koordináta-rendszerben?

A 2. ábrán látható módon berajzolunk egy ABC_\triangle-et.

a=2; b=4. A háromszög c oldala a keresett távolság

Felírjuk erre a háromszögre a Pitagoarsz-tételt:

a^2+b^2=c^2

2^2+4^2=c^2

4+16=c^2

20=c^2

\sqrt{20}=\sqrt{c^2}

4.47=|c|

Mivel c>0, ezér:

c\approx4.47

\overline{AB}=c=4.47