Elsőfokú és elsőfokúra visszavezethető egyenletek

Zárójeles egyenletek

1. Mintafeladat

2(x+2)=3(x-2)

Felbontjuk a zárójeleket.

2x+4=3x-6

Rendezzük az egyenletet x-re.
A megoldásban arra törekszünk, hogy a végrehajtott átalakítások során egyenletünk egyre egyszerűbb legyen, és a végén az egyik oldalon csak az ismeretlen álljon.

Az egyenlet mindkét oldalához adjunk hozzá 6-ot! Ezt mostantól így jelöljük:
/+6

2x+10=3x

/-2x

10=x

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=10 valóban megoldása az egyenletnek.

2. Mintafeladat

7(x-9)+1=4(3-x)+3

Felbontjuk a zárójeleket.

7x-63+1=12-4x+3

Összevonjuk az egynemű algebrai kifejezéseket.

7x-62=15-4x

Rendezzük az egyenletet x-re.

/+4x

11x-62=15

/+62

11x=77

/:11

x=7

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=7 valóban megoldása az egyenletnek.

3. Mintafeladat

5(2-3x)-3(x-1)=3-(x+7)

Felbontjuk a zárójeleket.

10-15x-3x+3=3-x-7

Összevonjuk az egynemű algebrai kifejezéseket.

13-18x=-4-x

Rendezzük az egyenletet x-re.

/+18x

13=-4+17x

/+4

17=17x

/:11

x=1

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=1 valóban megoldása az egyenletnek.

4. Mintafeladat

5(3x-1)-2(2-3x)+2=2(2x-1)-5(2-3x)

Felbontjuk a zárójeleket.

15x-5-4+6x+2=4x-2-10+15x

Összevonjuk az egynemű algebrai kifejezéseket.

21x-7=19x-12

Rendezzük az egyenletet x-re.

/+7

21x=19x-5

/-19x

2x=-5

/:11

x=-\dfrac{5}{2}

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=-\frac{5}{2} valóban megoldása az egyenletnek.

5. Mintafeladat

(3x-1)(2x+5)=6x^2+34

Felbontjuk a zárójeleket \rightarrow többtagú kifejezések szorzásánál “mindent mindennel” szorzunk

3x\cdot 2x+3x \cdot 5-1 \cdot 2x-1\cdot 5=34

Hozzuk egyszerűbb alakra az egyenletet, végezzük el a lehetséges műveleteket.

6x^2+15x-2x-5=6x^2+34

Összevonjuk az egynemű algebrai kifejezéseket.

6x^2+13x-5=6x^2+34

Rendezzük az egyenletet x-re.

/-6x^2

13x-5=34

/+5

13x=39

/:11

x=3

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=3 valóban megoldása az egyenletnek.

5. Mintafeladat

(x+3)^2+4=2x+x^2

Vegyük észre az (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 nevezetes azonosságot, és ez alapján végezzük el a zárójelfelbontást.

x^2+6x+9+4=2x+x^2

Vonjuk össze az egynemű algebrai kifejezéseket.

x^2+6x+13=2x+x^2

Rendezzük az egyenletet x-re.

/-x^2

6x+13=2x

/-6x

13=-4x

/:(-4)

x=-\dfrac{13}{4}

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=-\frac{13}{4} valóban megoldása az egyenletnek.

6. Mintafeladat

(x+2)(x-5)=0

Ha elvégezzük a zárójelfelbontást, akkor egy másodfokú egyenletet kapunk, amit megoldóképlettel segítségével lehet megoldani.
Ha ezt szeretnénk elkerülni, akkor kövessük az alábbi gondolatmenetet:

Azt látjuk, hogy egy szorzatunk egyenlő 0-val. Tudjuk, hogy egy szorzat akkor écs csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

Tehát vagy az \hspace{1cm}x+2=0\hspace{1cm} vagy pedig az \hspace{1cm}x-5=0.

Az első egyenletből azt kapjuk, hogy:

x=-2

A második egyenletből azt kapjuk, hogy:

x=5

Az eredeti egyenletnek tehát két megoldása lesz, ezt így jelöljük:

x_1=-2\hspace{1cm}x_2=5

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásokat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x_1=-2 és az x_2=5  is valóban megoldása az egyenletnek.

7. Mintafeladat

x(x-1)(x+2)(2x-8)=0

Ha elvégezzük a zárójelfelbontást, akkor egy negyedfokú egyenletet kapunk, amit nem tudunk megoldani, ezért az előző mintafeladatban ismertetettek alapján oldjuk meg az egyenletet.

Egy szorzat akkor écs csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

Tehát vagy az \hspace{1cm}x=0\hspace{1cm} vagy az \hspace{1cm}x-1=0\hspace{1cm} vagy az \hspace{1cm}x+2=0\hspace{1cm} vagy a \hspace{1cm}2x-8=0\hspace{1cm}.

Az első egyenletből azt kapjuk, hogy:

x=0

A második egyenletből azt kapjuk, hogy:

x=1

A harmadik egyenletből azt kapjuk, hogy:

x=-2

A negyedegyenletből azt kapjuk, hogy:

2x=8

x=4

Az eredeti egyenletnek tehát négy darab megoldása lesz, ezt így jelöljük:

x_1=0\hspace{1cm}x_2=1 \hspace{1cm}x_3=-2 \hspace{1cm}x_4=4

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásokat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az összes megoldásunk helyes.