Elsőfokú és elsőfokúra visszavezethető egyenletek

Törtes egyenletek

1. Mintafeladat

\dfrac{3x-3}{4}-3x=12

Rendezzük az egyenletet úgy, hogy az egyik oldalon csak a tört maradjon.

/+3x

\dfrac{3x-3}{4}=12+3x

A törtet úgy “tüntetjük” el, hogy szorozzuk az egyenletet a tört nevezőjével. Egyenletek szorzásakor (osztásakor) az egész bal és az egész jobb oldal szorzódik (osztódik).

/\cdot 4

3x-3=4\cdot(12+3x)

Bontsuk fel a zárójele(ke)t

3x-3=48+12x

Rendezzük az egyenletet x-re.

/+3

3x=51+12x

/-12x

-9x=51

/:(-9)

x=-\dfrac{17}{3}

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=-\dfrac{17}{3} valóban megoldása az egyenletnek.

2. Mintafeladat

\dfrac{2x-5}{3}-\dfrac{x+1}{4}=1

Hozzuk közös nevezőre a két törtet (közben a számlálókat bővítjük, hogy ne változzon a tört értéke).

\dfrac{4\cdot(2x-5)}{12}-\dfrac{3\cdot(x+1)}{12}=1

Szorozzuk az egyenletet ezzel a közös nevezővel.

/\cdot 12

4\cdot(2x-5)-3\cdot(x+1)=12\cdot 1

Bontsuk fel a zárójele(ke)t

8x-20-3x-3=12

Vonjuk össze az egynemű algebrai kifejezéseket.

5x-23=12

Rendezzük az egyenletet x-re.

/+23

5x=35

/:5

x=7

/:(-9)

x=7

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=7 valóban megoldása az egyenletnek.

3. Mintafeladat

\dfrac{x-2}{4}-\dfrac{5x-2}{9}=\dfrac{x+5}{6}

Hozzuk közös nevezőre a törteket (közben a számlálókat bővítjük, hogy ne változzon az érték).

\dfrac{9(x-2)}{36}-\dfrac{4(5x-2)}{36}=\dfrac{6(x+5)}{36}

Szorozzuk az egyenletet ezzel a közös nevezővel.

/\cdot 36

9(x-2)-4(5x-2)=6(x+5)

Bontsuk fel a zárójele(ke)t

9x-18-20x+8=6x+30

Vonjuk össze az egynemű algebrai kifejezéseket.

-11x-10=6x+30

Rendezzük az egyenletet x-re.

/+11x

-10=17x+30

/-30

-40=17x

/:(-9)

x=-\dfrac{40}{17}

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy az x=-\frac{40}{17} valóban megoldása az egyenletnek.

4. Mintafeladat

\dfrac{3(9x-3)}{9x-6}-\dfrac{3x+1}{3x-2}=2

9.o. +

Mielőtt nekiállunk megoldani az egyenletet, vegyük észre, hogy a törtek nevezőjében ismeretlenek is vannak. Ilyenkor kikötést kell tenni, vagyis meg kell határozni azt az értelmezési tartományt (számhalmazt), melyen a megoldásainkat keressük. 

Tudjuk, hogy a tört, egy “el nem végzett osztás”, és azt is tudjuk, hogy 0-val nem lehet osztani. Ezért a kikötésünk az alábbi:

9x-6\neq 0 \hspace{2cm} 3x-2\neq 0

Rendezés után azt kapjuk, hogy

x\neq\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3} \hspace{2cm} x\neq \dfrac{2}{3}

Tehát az egyenlet értelmezési tartománya: x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{2}{3}\right\}

Az első tört nevezőjéből emeljünk ki.

\dfrac{3(9x-3)}{3(3x-2)}-\dfrac{3x+1}{3x-2}=2

Egyszereűsítsünk 3-mal.

\dfrac{9x-3}{3x-2}-\dfrac{3x+1}{3x-2}=2

Így közös nevezőre kerültek a törtek, tehát szorozhatunk vele.

/\cdot (3x-2)

9x-3-(3x+1)=2(3x-2)

Bontsuk fel a zárójele(ke)t

9x-3-3x-1=6x-4

Vonjuk össze az egynemű algebrai kifejezéseket.

6x-4=6x-4

Azt látjuk, hogy az egyenlet két oldalán álló kifejezés, megegyezik egymással, vagyis azonosságot kaptunk.
Ilyenkor minden valós x megoldás (persze az egyenlet értelmezési tartományán). 

x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{2}{3}\right\}

5. Mintafeladat

\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x+2}{x+3}+\dfrac{4}{x^2+2x-3}=0

9.o. +

A harmadik tört nevezőjét átalakítva látjuk, hogy a másik két nevező szorzata

x^2+2x-3\hspace{5mm}=\hspace{5mm}x^2+3x-x-3\hspace{5mm}=\hspace{5mm}x(x+3)-x-3\hspace{5mm}=\hspace{5mm}x(x+3)-(x+3)\hspace{5mm}=\hspace{5mm}(x+3)(x-1)

(Ha nem értetted ezt a lépést kattints ide)

Tudjuk, hogy a tört, egy “el nem végzett osztás”, és azt is tudjuk, hogy 0-val nem lehet osztani. Ezért a kikötésünk az alábbi:

x-1\neq 0 \hspace{2cm} x+3\neq 0 \hspace{2cm} (x+3)(x-1)\neq 0

Rendezés után azt kapjuk, hogy

x\neq 1\hspace{2cm} x\neq -3

Tehát az egyenlet értelmezési tartománya: x\in\mathbb{R}\setminus\left\{1;-3\right\}

Hozzuk közös nevezőre a törtek.

\dfrac{(x+1)(x+3)}{(x-1)(x+3)}-\dfrac{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-1)}+\dfrac{4}{(x+3)(x-1)}=0

Szorozzunk a közös nevezővel.

/ \cdot (x+3)(x-1)

(x+1)(x+3)-(x+2)(x-1)+4=0

Bontsuk fel a zárójel(ek)et.

x^2+3x+x+3-(x^2-x+2x-2)+4=0

x^2+3x+x+3-x^2+x-2x+2+4=0

Vonjuk össze az egynemű algebrai kifejezéseket.

3x+9=0

Rendezzük az egyenletet x-re.

/-9

3x=-9

/:3

x=-3

Azt látjuk, hogy olyan megoldást kaptunk, ami nincs benne az egyenlet értelmezési tartományában, ezért az eredeti egyenletnek nincs megoldása.

x\in\emptyset

6. Mintafeladat

\dfrac{x}{x^2-4}-\dfrac{x}{x^2-2x}-\dfrac{4}{x^2+2x}=0

9.o. +

Ismerjük fel az első tört nevezőjében az a^2-b^2=(a+b)(a-b) nevezetes azonosságot.

A második, illetve a harmadik tört nevezőjében, pedig emeljünk ki. Ezek alapján:

\dfrac{x}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{x}{x(x-2)}-\dfrac{4}{x(x+2)}=0

0-val nem lehet osztani, ezért a kikötés:

(x+2)(x-2)\neq 0 \hspace{2cm} x(x-2)\neq a \hspace{2cm} x(x+2)\neq 0

x-2\neq 0 \hspace{2cm} x+2\neq 0 \hspace{2cm} x\neq 0

x\neq 2 \hspace{2.2cm} x\neq -2 \hspace{2.2cm} x\neq 0

Ezek alapján az egyenlet értelmezési tartománya: x\in\mathbb{R}\setminus\{-2;0;2\}

Hozzuk közös nevezőre a törteket.

\dfrac{x\cdot x}{x(x+2)(x-2)}-\dfrac{x(x+2)}{x(x+2)(x-2)}-\dfrac{4(x-2)}{x(x+2)(x-2)}=0

Szorozzuk meg az egyenletet ezzel a közös nevezőel.

x^2-x(x+2)-4(x-2)=0

Bontsuk fel a zárójel(ek)et.

x^2-x^2-2x-4x+8=0

Összevonjuk az egynemű algebrai kifejezéseket és rendezzük az egyenletet x-re.

-6x+8=0

/+6x

8=6x

/:6

\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}=x

Az ellenőrzés alapján (a kapott megoldásunkat visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe) meggyőződhetünk róla, hogy a kapott gyök(ök) valóban megoldása az egyenletnek.