Másodfokú és másodfokúra visszavezethető egyenletek

Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja:

ax^2+bx+c=0\hspace{2cm} ahol az a;b;c\in\mathbb{R} és a\neq 0

Az általános egyenletet teljes négyzetté alakítjuk.
Kiemelünk a-t

a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=0

Teljes négyzetté alakítjuk:

a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)+c=0

Felbontjuk a nagy zárójelet:

a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=0

/+\frac{b^2}{4a} \hspace{5mm}/-c\hspace{5mm} majd az egyenlet jobb oldalát összevonva:

a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{4ac}{4a}

a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a}

/:a

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

/\sqrt{}

\left|x+\dfrac{b}{2a}\right|=\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}

\left|x+\dfrac{b}{2a}\right|=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

/-\frac{b}{2a}

x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1;2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

1. Mintafeladat

x^2+3=19

Rendezzük az egyenletet x-re.

/-3

x^2=16

A négyzetre emelés fordított művelete a négyzetgyökvonás. Vonjuk gyököt az egyenet mindkét oldalából.

\sqrt{x^2}=\sqrt{16}

Definíció szerint \sqrt{a^2}=|a|, ezért:

|x|=4

x_1=-2 \hspace{2cm} x_2=2

Az eredeti egyenletnek két megoldása lett, és behelyettesítéssel igazolható, hogy mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet.

2. Mintafeladat

(2x-5)^2=49

A négyzetre emelés fordított művelete a négyzetgyökvonás. Vonjuk gyököt az egyenet mindkét oldalából.

\sqrt{(2x-5)^2}=\sqrt{49}

Definíció szerint \sqrt{a^2}=|a|, ezért:

|2x-5|=7

Az abszolút érték tulajdonsága miatt, esetszétválasztást csinálunk az abszolút értékben lévő kifejezés előjele szerint.

+(2x-5)=7 \hspace{2cm} -(2x-5)=7

Mindkét egyenletben felbontjuk a zárójeleket.

2x-5=7 \hspace{2cm} -2x+5=7

Mind a két egyenletet rendezzük x-re.

/+5 \hspace{1cm} /-5

2x=12 \hspace{2cm} -2x=2

/:2 \hspace{1cm} /:(-2)

x_1=6 \hspace{2.3cm} x_2=-1

Az eredeti egyenletnek két megoldása lett, és behelyettesítéssel igazolható, hogy mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet.

3. Mintafeladat

10x^2-50x=0

Emeljünk ki.

10x(x-5)=0

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

10x=0 \hspace{1cm} \text{vagy} \hspace{1cm} x-5=0

Mind a két egyenletet rendezzük x-re.

/:10 \hspace{1cm} /+5

x_1=0 \hspace{2cm} x_2=5

Az eredeti egyenletnek két megoldása lett, és behelyettesítéssel igazolható, hogy mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet.

4. Mintafeladat

2x^2-x=3

10.o. +

Ez egy “teljes” másodfokú egyenlet. Megoldókélettel lehet kiszámolni a gyököket. Mielőtt azonban behelyettesítenénk a képletben az egyenlet(ek)et mindig nullára kell rendezni (0-ra redukálni).

/-3

2x^2-x-3=0

A másodfokú egyenlet megoldókélete:

x_{1;2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \hspace{1cm} ahol a;b;c az ismeretlenek együtthatói.

A mi esetünkben most \hspace{1cm}a=2;\hspace{1cm} b=-1;\hspace{1cm} c=-3\hspace{1cm} Behelyettesítünk a megoldóképletbe.

x_{1;2}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2} \hspace{5mm}=\hspace{5mm} \dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}\hspace{5mm}=\hspace{5mm}\dfrac{1\pm 5}{4}

x_1=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} \hspace{2cm} x_2=-1

Az eredeti egyenletnek két megoldása lett, és behelyettesítéssel igazolható, hogy mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet.

5. Mintafeladat

x^4-x^2-1=0

10.o. +

Vegyük észre, hogy x^4=(x^2)^2

(x^2)^2-x^2-1=0

Vezessünk be egy új ismeretlent: \lambda=x^2

Az egyenletbe helyettesítve azt kapjuk, hogy:

\lambda^2-\lambda-1=0

Megoldjuk az egyenletet \lambda-ra.

\lambda_{1;2}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}

\lambda_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \hspace{3cm} \lambda_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}

Visszahelyettesítünk x-re:

x_1^2=\lambda_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \hspace{3cm} x_2^2=\lambda_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}

\sqrt{x_1^2}=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} \hspace{3cm} \sqrt{x_2^2}=\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}

|x_1|=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} \hspace{3cm} x_2\notin\mathbb{R}

x_1=\pm\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} \hspace{4cm} 

Az x_2-re azért nem kaptunk valós megoldást, mert a gyök alatt egy negatív szám van, ami a négyzetgyökvonás definíciója miatt nem lehetséges a valós számkörben.

Az egyenlet két megoldása tehát, az x_1-es ágból jön:

x=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} \hspace{3cm} x=-\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}

 

6. Mintafeladat

2(2x-1)^8-(2x-1)^4=1

10.o. +

Vegyük észre, hogy (2x-1)^8=\left((2x-1)^4\right)^2

2\left((2x-1)^4\right)^2-(2x-1)^4-=1

Vezessünk be egy új ismeretlent: \lambda=(2x-1)^4

Az egyenletbe helyettesítve azt kapjuk, hogy:

2\lambda^2-\lambda=1

2\lambda^2-\lambda-1=0

Megoldjuk az egyenletet \lambda-ra.

\lambda_{1;2}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\dfrac{1\pm\sqrt{9}}{4}

\lambda_1=1 \hspace{3cm} \lambda_2=-\dfrac{1}{2}

Visszahelyettesítünk x-re:

(2x-1)^4=\lambda_1=1 \hspace{3cm} (2x-1)^4=\lambda_2=-\dfrac{1}{2}

\sqrt[4]{(2x-1)^4}=\sqrt[4]{1}\hspace{3cm} x\notin\mathbb{R}

|2x-1|=1 \hspace{3cm} 

2x-1=\pm 1\hspace{3cm} 

A \lambda_2 ágból azért nincs megoldás, mert egy páros kitevőre emelésnél a hatvány értéke nem lehet negatív szám.

x=1 \hspace{3cm} x=0